الجزء الأول : اللانهاية من وجهة نظر ( جورج كانتور & باول كوهن )

[جامعة دمشق]

المقالة بقلم ريتشارد إلوس مقسمة الى جزئين

الجزء الأول
http://plus.maths.org/content/cantor...igators-part-i

الجزء الثاني
http://plus.maths.org/content/os/iss...s/elwes2/index



ترجمة : زهره آل ناصر



كانتور: صانع لعبه اللانهايه

جورج كانتور




كان جورج كانتور منطقي ألماني الذي- في نهايه القرن 19- حقق الإنجاز الذي حلم به العلماء و الفلاسفه و المتكلمين و هو التحليل المفصل للانهايه. بالنسبه لكانتور شخصياً, كانت نتائج هذا النصر غير سعيده. مع عدم قدرته على حل أحد الأسئله التي فتحها عمله – المعروف بفرضيه الإستمراريه- أصبح كانتور موسوس و بائس مع فشله . بالإضافه إلى مأساته الشخصيه- موت إبنه- و الإهانه العلنيه من رفض عمله و وصفه بأنه: " مائه عام قريبه جداً" , قضى كانتور آخر سنوات عمره في الدخول و الخروج من المصحات.

كان إكتشاف كانتور بأنه ليس هناك لانهايه واحده فقط, لكن تسلسل لاينتهي أبداً منها و كل نهايه أكبر من السابقه. إنها فكره ملتويه ولكن كان المدخل إلى عالمه الغريب – للمفاجأه- مفهوم سهل و مألوف.

إفترض أن لديك مجموعتين من الأشياء, سمهما المجموعه Aو B المجموعه . كيف يمكنك أن تعرف أيهما أكبر او أنهما من نفس الحجم؟ طبعاً يمكنك عد جميع الأشياء في A ثم عد جميع الأشياء فيB و مقارنه العددين. لكن يمكن أن يكون من الأسهل – لتجنب خطر فقدان العد- محاوله مطابقه عناصر المجموعتين: إربط كل عنصر من A مع عنصر من B إلى أن تنتهي عناصر إحدى المجموعتين. المجموعات التي يمكن مطابقه جميع عناصرها كلياُ فهي من نفس الحجم و المجموعات التي لايمكن مطابقه جميع عناصرها فهي مختلفه الحجم . هذه الفكره يمكن بصعوبه تبسيطها لكن في يدي كانتور أنتجت إكتشافاً مذهلاً: لقد أثبت أن بعض المجموعات اللانهائيه لايمكن مطابقتها مع أي مجموعه أخرى لذلك يجب علينا على الفور أن نستنتج أن هناك مستويات مختلفه من اللانهايه و بعضها أكبر من الأخرى. ( يمكنك إيجاد المزيد من نتائج هذه الفكره في الجزء الثاني من هذه المقاله فرضيه الإستمراريه).

المجموعات

عندما نشر كانتور نتائجه عن اللانهايه – موضوعه الجديد في نظريه المجموعات- جذب بذلك الإثاره و التشكيك في قياس المساواه. من خلال عمله و عمل هنري لوبيج Henri Lebesgueفإنه سرعان ماأصبحت من المواضيع السائده مثل التحليل و الهندسه. و لكن في نفس الوقت،فإن الإعتقاد بوجود مستويات مختلفه من اللانهايه يبدو لبعض الناس مخالف للفطره البشريه. حتى أن كانتور نفسه قال واحد من أكثر نتائجه غير البديهيه: " أرى ذلك و لكني لا أصدقه". ربما لذلك من المفهوم أن الكثيرين في المجتمع الرياضي كانوا مترددين في قبول هذه الأفكار الغريبه الجديده.

أحد المشككين الرئيسيين هو ليوبولد كرونكر Leopold Kroneckerالمتزمت الذي يعتقد أن الرياضيات الحقيقيه هي فقط التي يمكن الوصول إليها من الأعداد الكامله في عدد محدود من الخطوات. و بالنسبه لكرونكر، البقيه كلها فانتازيا و خيال. وقد تلخص موقفه هذا في قوله: " خلق الله الأعداد و كل شئ آخر هو من عمل الإنسان". بالنسبه له، لعب عمل كانتور أبعد مايكون و بحريه كبيره مع المفاهيم التي جاءت من لامكان. في حين أن كانتور عمم النظريه لتتواءم مع نظريات المجموعات ، سيثق كرونكر فقط في المطابقه بين مجموعات معينه فقط و التي يستطيع فهمها و كتابتها. وقد ذهب كرونكر بعيداً في إتهامه لكانتور بأنه : "دجّال العلميه" و " المفسد للشباب" . وكان أحد الرياضيين الرئيسيين المؤثرين في معارضه عمله . حتى ان صديق كانتور ماغنوس ميتاغ لفلر Magnus Mittag-Lefflerرئيس تحرير مجله الرياضيات أكتا المرموقه Acta Mathematica أقنعه بالتخلي عن نشر عمله على أساس أنها : " مئه عام من الرياضيات قريبه جداً" .

التناقضات و المسلمات

كان الآخرين أكثر تقبلاً لأفكار كانتور. بالإستلهام منه ، إعتقد المنطقيان جوتلوب فريجه Gottlob Frege و برتراند راسلBertrand Russell بأن كل الرياضيات يمكن أن تبنى من الأرض بدءاً من المنطق و نظريه المجموعات فقط.


برتراند راسل



في العام 1901م ، كان فريجه على وشك نشر الجزء الثاني من العمل الذي حاول فيه بالضبط القيام بذلك: العمليات الأساسيه في الحساب. لكن في اللحظه الأخيره ، كتب له راسل بالإكتشاف الذي لايهدم فقط عمل فريجه، لكن أيضاً يهدد تحقيق هذا الصرح من نظريه المجموعات بالإنهيار.

المجموعات هي تجمع من الأشياء، و إذا كانت المجموعه X تحتوي علىy فإننا نقول أن y هو عنصر في X ، و تكتب . طبعاً فإن بعض المجموعات عناصر في مجموعات أخرى. فعلى سبيل المثال، مجموعه كلاب الألزاسي هي نفسها عنصر في مجموعه كل سلالات الكلاب. نظرياً ، هل يمكن أن تكون بعض المجموعات عناصر في نفسها؟ أعطى رياضيوّا ذلك العصر سبباً لذلك أن مجموعه جميع المجموعات هي مثال على المجموعه التي هي عنصر في ذاتها. متناقضه راسل كانت نتاقض بسيط قائم على هذه الفكره: لتكن X هي تجمع من هذه المجموعات التي ليست عنصر في نفسها. هل X عنصر في نفسها؟ فكر في ذلك! في كلتا الحالتين تحصل على تناقض.

متناقضه راسل لم تكن المتناقضه الأولى التي ظهرت في نظريه المجموعات. في الحقيقه، اكتشف كانتور واحده بنفسه، فكر في حجم مجموعه المجموعات. لكن متناقضه راسل معروضه بشكل سهل جداً ومثيره للإزعاج لأنها تؤدي بشكل حتمي إلى الإستنتاج أنه يوجد شئ خاطئ للغايه في نظريه مجموعات كانتور.

إستمر الفهم المربك لنظريه المجموعات على مدى عقدين من القرن 20 . كان التحدي الرئيسي هو حل متناقضه راسل. حاول عدد من الأشخاص ذلك لكن دون جدوى بدايه بفريجه في محاوله لإصلاح إطروحته حتى الفيلسوف لوديغ ويتغستين في العام 1923م . حتى راسل نفسه لم يجد وسيله لذلك، ومع ألفرد نورث وايتهيد Alfred North Whitehead بادرا في محاوله تعيين مالم يتمكن منه فريجه: إستخدام المنطق و نظريه المجموعات لوضع جميع الرياضيات على أساس متين. نشرت ثلاث مجلدات لعملهما مبادئ الرياضيات بين العامين 1910م و 1913م والذي إستعرض المجموعات و المنطق فقط. و قد تطلب ذلك حتى الصفحه 86 في المجلد الثاني للتمهيد للأجزاء الأساسيه لإثبات أن 1+1=2 و التي كانت مصحوبه بالملاحظه " التمهيديه أعلاه مفيده أحياناً" .

أدرك راسل و وايتهيد أنهما يجب أن يكونا أكثر حذراً حول مايمكن إعتباره " مجموعه" من التعريف البسيط " تجمع من الأشياء" في عصر كانتور. كانت الطريقه لحل متناقضه راسل هو بصياغه تعريف أكثر تقييداً للمجموعه و بذلك تكون الأشياء التي لا معنى لها مثل مجموعه راسل X و مجموعه المجموعات لايسمح لها بأن تعد مجموعه ، و لايسمح بأن تكون المجموعه عنصر في نفسها.

كان الحل الذي توصلوا له هو طبقات مفصله للمجموعات، حيث تم تعيين مستوى لكل مجموعه، و يسمح لها بإحتواء مجموعات من مستويات أقل فقط. هذا النوع من النظام يعرف بنظريه الأنماط Type Theory . وماإنحدر منها مهم حتى اليوم خصوصاً في علم الحاسوب. لكن إستمر البحث للحصول على أساس أكثر حريه و أقل تقييداً للرياضيات.



وصل الجواب في نهايه المطاف، إستناداً إلى عمل إرنست زرملوErnest Zermelo . كان زرملو يعمل على نظريه المجموعات منذ بدايه القرن، و في العام 1922م إكتشف أبراهام فرانكل Abraham Fraenkel و ثوراف سكولم Thoraf Skolem كيفيه وضع لمسه هامه نهائيه لعمله. ما وجدوه هو قائمه واضحه من المسلمات التي تحكم سلوك المجموعات المجرده. هذا النظام عرف بـنظام ZF نسبه لزرملو و فرانكلين. نظام ZFهو مثل النظام الإنسيابي المنطقي الذي يكون فيه تجمع الأشياء في الحياه الحقيقيه (مثل سلالات الكلاب) لاتتناسب بسهوله جداً (على الأقل من غير تعديلات).

نظام يصف الكون كله من خلال المجموعات المجرده. وهذه المجموعات يمكن أن تكون عناصر في بعضها البعض لكن لم يتم بناؤها من أكثر الأشياء الأساسيه. ولأغراض رياضيه، كان نظام هو ماكان مطلوب بالضبط: قوي كفايه لدعم عالم كانتور، لكنه ضعيف كفايه لتجنب وحوش التناقضات المنطقيه التي أوجدها هو و راسل.

مسلمه الإختيار

الغرض من أنظمه المسلمات مثل نظام ZFC ( أو نظام راسل و وايتهيد) هو وصف جميع الرياضيات، أو على الأقل أغلبه، من عدد صغير من الفرضيات الأساسيه. قدم كتاب مبائ الرياضيات القالب لبناء الرياضيات من نظام ZF، و هذا الإصدار من نظريه المجموعات يشكل جزءاً أساسياً من كل شئ اليوم: جميع الأعداد و في الواقع جميع مواضيع الرياضيات يمكن بسهوله بناؤها من خلال عالم مجموعات نظري قائم على نظام ZF.



إذن هل أثبت نظام ZF للجميع أن كرونكر و غيره من المتشككين كانوا على خطأ؟ طبعاً يبدو أن لانهايه كانتور وضعت أساس متين أخيراً. لكن في نفس الوقت، كان هناك مشكله واحده غامضه باقيه.



كان الغرض من العمل على المسلمات هو لجعل الرياضيات دقيقه جداً بحيث تكون وثبات الإيمان و نفحات الإلهام التي تشكل بطبيعه الحال جزءاً من عمل كل رياضي يمكن إثباتها بشكل كامل من هذه القوانين الأساسيه. ومع ذلك ، بالرجوع للعام 1904م حدد زرملو المبدأ الذي يستخدمه الرياضيون كثيراً (وحتى من دون وعي) لكنه لايبدو مناسباً تماماً هنا. و بالأخص لعب ذلك دوراً أساسياً في صنع تطابقات كانتور الأوليه.

المبدأ هو: إفترض أن لديك تجمع من المجموعات: C,B,A...... الخ. و تريد إنشاء مجموعه أخرى عن طريق أخذ عنصر واحد من A، وعنصر واحد من B، وعنصر واحد من C، وهكذا. يبدو من الواضح أنه يسمح لك بفعل ذلك. لكن في بعض الأحيان فإنه لاتوجد طريقه واضحه لعزل عنصر معين من C,B,Aا......لخ. ربما لاتوجد قائمه واضحه لعناصرها، وطبعاً يمكن أن يكون هناك عدد لانهائي من هذه المجموعات. إذا كان لديك قاعده يمكنك إستخدامها لإختيار عنصر من كل مجموعه، فلايوجد مشكله: بإستخدام قياس راسل، إذا كانت .C,B,A..........الخ أزواج من الأحذيه، فإن نظام ZF يسمح لك بقول :" كون مجموعه جديده عن طريق إختيار الحذاء الأيسر من كل زوج". لكن إذا كانوا أزواج من الجوارب المتطابقه، و إذا كان لديك عدد لانهائي منهم ، فلا يوجد طريقه واضحه لعمل ذلك. على الأقل، ليس من دون مسلمه الإختيار التي تسمح لك دائماً بالقول:" إختر جورب واحد من كل زوج".

إذا كنت تتعامل زوج من الأحذيه، فيمكنك إختيار واحد دائماً. على العكس من ذلك، إذا كنت تتعامل مع الجوارب فأنت في ورطه

باول كوهن: بناء عالم آخر

إذا كان نظام ZFهو حجر الأساس للرياضيات، وكانت مسلمه الإختيار متحققه (كما يعتقد معظم الناس) فإن الإفتراض انه يمكن إستنتاجها من نظام ZF. أمضى الرياضيون سنوات عدّه في محاوله فعل ذلك بالضبط، لكن دون جدوى. كان ذلك محبطاً: مسلمه الإختيار خاصيه بسيطه كفايه و إذا كان نظام ZF بمثابه أساس للرياضيات فإنه ينبغي أن يكون قادراً على حل أسئله الرياضيات الأكثر تعقيداً بواسطه الإشاره إليه. أو كما يعتقد الناس.

بيد أن هذا الأمل تم تعديله في العام 1931م ، عندما قام المنطقي العظيم كورت غودل Kurt Gödel بإثبات نظريع عدم الإكتمال الشهيره incompleteness theorems. و كنتيجه لذلك فإن نظام ZFيمثل نظام غير كامل. و هذا يعني بعد كل ذلك أن نظامZF ليس كافياً ليحل مشكله كل سؤال محتمل عن المجموعات و الأعداد. يبدو ذلك مخيباً للآمال، لكنه ليس فشلاً للنظام ZF: أثبت غودل أنه من المستحيل كتابه أي نظام كامل و في نفس الوقت قوي كفايه لوصف العمليات الحسابيه الإعتياديه.

في العام 1940م ، أثبت غودل أن مسلمه الإختيار متوافقه مع نظام ZF على الأقل، فهي لاتثير أي تناقضات في النظام. كان إنتصار باول كوهن بإبتكار الجبر forcing ، وهي تقنيه قويه لبناء عالم جديد من المجموعات التي تحقق نظام ZF، ولكن التي تحقق شروط إضافيه أيضاً. في العام 1962م ، إستخدم كوهن الجبر لبناء عالم جديد يحقق نظام ZF، ولكنه لايحقق مسلمه الإختيار. وهذا هو عكس ماأثبته غودل: هذا يعني أن عدم تحقق مسلمه الإختيار يتوافق مع نظام ZF. و بالنتيجه أثبت كوهن أن مسلمه الإختيار مسلمه مستقله عن نظام : أنها لافرق في التوافق سواء كانت المسلمه متحققه أو لا.

العالم من دون الإختيار

في هذه الأيام، يختار أكثر الناس إستخدام نظام ZF- أي نظام ZFمضافاً إليه مسلمه الإختيار. ومع ذلك، فإنها لاتزال موضوعاً للدراسه اليوم. تم العثور على معايير كثيره مثيره للإهتمام و التي تكون مكافئه منطقياً لها، بما في ذلك بعض الأجزاء القادمه من أجزاء أخرى من الرياضيات جميعها. من وجهه نظر لانهايه كانتور، و احد أهمها هو مبدأ التثليث principle of trichotomy: لأي مجموعتين B,A إما ان تكونA أكبر من B أوB أكبر من A أو أنهما متساويتي الحجم . يبدو ذلك بديهياً، لكن إذا كانت مسلمه الإختيار خاطئه فإنه يمكنك إيجاد مجموعات لانهائيه و التي ببساطه لايمكن مقارنتها ببعضها البعض.

بعض الرياضيين يعترض على المسلمه بسبب طبيعتها الغير بنائيه فهي تؤكد على وجود مجموعه معينه من دون أن تخبرك كيفيه الحصول عليها أو حتى كيف تبدو. من المؤكد أن ليوبولد كرونكر لن يحب بذلك فضلاً عن وجود أسباب أيدولوجيه لمعارضتها. ببساطه بعض الناس قد ينجذبون لعالم غريب من دون إختيار، حيث بعض الكائنات الرياضيه العاديه قد لاتكون موجوده، و تعريفات مختلفه لما يعنيه أن يكون" منتهي" يمكن لايكون متطابقاً.

وهذا لايعني أن مسلمه الإختيار بذاتها لاتنتج نتائج مثيره للإهتمام. متناقضه باناخ- تارسكي Banach-Tarski Paradoxهي حقيقه مخيفه بأنه يمكنك أخذ كره ثلاثيه الأبعاد و إستخدام مسلمه الإختيار لتقسيمها إلى خمسه أجزاء، ثم عن طريق تدوير و إزاحه الأجزاء يمكنك تجميعهم إلى كرتين جديدتين كل منهما لها نفس حجم الكره الأصليه. الأشياء الغريبه تحدث أيضاً حتى في العالم مع مسلمه الإختيار

[.•*"°نہسہـ^ـہيہم°"*•.]

يعطيك الف عافية ياغالي

دائما مبدع ومتميز بكل اختياراتك


؛؛؛؛؛؛ مـ°ـع تہحہيہاتــ°ـي ؛؛؛؛؛؛

[جامعة دمشق]

تـوآجدك الرائــع ونــظره منك لموآضيعي

هو الأبداع بــنفسه ..